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绝对值三角不等式公式

2021-03-19 15:29

绝对值三角不等式定理:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。三角不等式,即在三角形中两边之和大于第三边,有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。

绝对值三角不等式公式

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。

一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,这个不等式当a、b同方向时(如果是实数,就是正负符合相同)|a+b|=|a|+|b|成立。当a、b异向(如果是实数,就是ab正负符合不同)时,||a|-|b||=|a±b|成立。

另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,这个等号成立的条件刚好和前面相反,当a、b异向(如果是实数,就是ab正负符合不同)时,|a-b|=|a|+|b|成立。当a、b同方向时(如果是实数,就是正负符合相同)时,||a|-|b||=|a-b|成立。

三角不等式证明

设ABC为一个三角形,记△ABC,延长BA至点D,使DA=CA,连接DC.

则因DA=AC,∠ADC=∠ACD(等边对等角,《几何原本》命题5)

所以∠BCD大于∠ADC(整体大于部分公理)

由于DCB是三角形,∠BCD大于∠BDC,而且较大角所对的边较大(大角对大边,命题19)

所以DB>BC,而DA=AC

则DB=AB+AD=AB+AC>BC.

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